Параллельный перенос

Пусть — данный вектор. Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что вектор равен вектору (рис. 329).

Рис. 329

Параллельный перенос является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния. Докажем это. Пусть при параллельном переносе на вектор точки М и N отображаются в точки М₁ и N₁ (см. рис. 329). Так как то Отсюда следует, что ММ₁ || NN₁ и MM₁ = NN₁, поэтому четырёхугольник MM₁N₁N — параллелограмм. Следовательно, MN = M₁N₁, т. е. расстояние между точками М и N равно расстоянию между точками М₁ и N₁ (случаи, когда точки М и N расположены на прямой, параллельной вектору , рассмотрите самостоятельно). Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой движение. Наглядно это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора на его длину.